Gevarieerde oefenvormen

Inleiding

U l< ent het spreel< woord: "Verandering van spijs doet eten." Dat geldt ool< als het gaat over het oefenen in het rekenonderwijs. In een vorig artikel in dit blad^) hebben we betoogd dat de motivatie van de kinderen snel afneemt als er geen afwisseling in de oefenstof zit.

Laten we elkaar goed begrijpen. Oefenen moét in het rekenonderwijs. Maar de wijze waarop dat gebeurt is erg belangrijk. De laatste jaren verschijnen in allerlei publikaties steeds meer gevarieerde oefenvormen. Maar vooral komen we ze ook tegen in de nieuwere rekenmethoden.

In dit artikel doen we een greep uit het grote aanbod. Die greep is vrij willekeurig. Het gaat er ons om een aantal mogelijke variaties

in het oefenen (vooral wat betreft de hoofdbewerkingen) aan te geven. Daarbij zullen we regelmatig wijzen op een aantal aspecten, die een "meerwaarde" aan het 'oefenen sec' geven. We noemen in de eerste plaats de zelfcontrole en de zelfcorrectie. Veel oefenvormen hebben een dusdanige struktuur, dat de leerlingen zélf tot de ontdekking kunnen komen óf ze hun opgaven al dan niet goed gemaakt hebben. In de tweede plaats noemen we allerlei eigenschappen van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Vervolgens zullen we zien dat de leerlingen veel meer eigen initiatief kunnen ontplooien: ze worden in de gelegenheid gesteld zélf het een en ander te ontdekken.

Nog één opmerking. De hier geboden oefenvormen zullen toegesneden moeten worden op uw klassesituatie. Dat zal enige aanpassing van deze oefenvormen vragen, die we graag voor uw rekening laten. Als u zich die moeite wilt getroosten, dan zal de motivatie en het enthousiasme van uw kinderen uw loon zijn.

Honderdveld

Het honderdveld is een bij uitstek geschikte oefenvorm voor de tweede klas. U kunt m.i. uw leerlingen geen beter model voorhouden dan dit honderdveld om de structuur van de getallen duidelijk te maken: één hokje naar beneden: + 10; één hokje naar boven: — 10; één hokje naar rechts: + 1; één hokje naar links: —1, zijn zeer gerichte handelingen om thuis te raken in de systematiek van ons getallensysteem.

Als de kinderen gaan optellen en aftrekken (tot de 100) kunnen ze dit honderdveld

uitstekend gebruiken als oefenveld. De leerkracht geeft een aantal opgaven op en de leerlingen kleuren de antwoorden van de opgaven in in het honderdveld. Door de opgaven zó samen te stellen, dat de antwoorden in het honderdveld een bepaalde figuur (bloem, voorwerp, dier) vormen, bereiken we, dat de leerlingen door middel van deze figuur zelf kunnen controleren of de antwoorden goed of fout zijn.

Hier stuiten we op het 'meer' van de oefenvormen, waarop we in de inleiding reeds wezen. Het element van "zelfcontrole" missen we bijv. in de rijtjessommen.

Dat 'meer' komen we ook tegen bij het inoefenen van de tafelsz). Door de antwoorden van de tafel van 2 met bijv. geel in te kleuren en die van 3 met blauw, ontstaat in de vakjes 6, 12, 18, 24 enz. een groene kleur; een (afwijkende) kleur die de leerkracht aanleiding geeft om te vragen: "Wat is hier aan de hand? " Die groene kleur symboliseert de gemeenschappelijke antwoorden. Op dit moment kan de leerkracht ingaan op 3x2 = 2x3 (=de commutatieve eigenschap van het vermenigvuldigen). Laat u de tafel van 9 inkleuren in het honderdveld, dan ontstaat het volgende patroon:

U kunt ingaan op het "waarom" van die patronen: steeds "negen erbij". Erbij betekent op het honderdveld: 1 hokje naar beneden en één hokje naar links. Naast deze paar voorbeelden voor de onderbouw zijn er vele mogelijkheden met dit honderdveld in de midden- en bovenbouw. We verwijzen de belangstellende lezer naar een artikel in één van de nummers «an het Wiskobasbulletins).

Tabellen

Niet minder bekend dan het honderdveld is de tabel. De tabel kan gebruikt worden als oefenvorm voor de vier hoofdbewerkingen, vooral in de klassen 2 t/m 4. Vooraf vertelt u de leerlingen, dat een tabel randgetallen (zowel horizontale als vertikale) en veldgetallen heeft. Bovendien verduidelijkt u de termen: kolom en rij. (Een kolom 'loopt'van boven naar beneden en een rij van links naar rechts.)

In de hogere klassen kunt u de tabel gebruiken voorde bewerkingen met breuken. Bijv.:

Ook hier is lietiwerken met een tabel meer dan oefenen alleen. Kijkt u eens naar de twee rijen antwoorden. Die kunt u verkrijgen door op de gebruikelijke wijze te werk te gaan {- de getallen voor de dubbele streep vermenigvuldigen met de getallen boven de dubbele streep). Veel aardiger (en handiger) is het de antwoorden van de bovenste rij te vermenigvuldigen met 4. U krijgt dan de antwoorden van de tweede rij. De tabellen bieden vele mogelijkheden om intensief te oefenen. U kunt een veldgetal (antwoord) geven met één van de randgetallen. Gevraagd: ander randgetal.

En wat denkt u van het volgende.

Wijst u de kinderen op deze 'eigen-aard-igheden' van de oefenvormen. Tien tegen één dat ze zullen gaan puzzelen om uit te zoeken hoe dat nu mogelijk is! Laat ze zoveel mogelijk van deze krulsprodukten opzoeken! U zult er versteld van staan hoeveel sommen ze in een half uurtje (gemotiveerd) maken. Geeft u ook eens alleen de rand- en veldgetallen, met de opdracht de tabel samen te stellen.

Tenslotte: in de 6e klas kan het zeer nuttig zijn op de betekenis van de bewerkingen zelf dieper in te gaan door middel van bijv. deze opgave:

Kruisgetalraadsels

U kent de kruiswoordraadsels. Welnu, de werkwijze van kruisgetalraadsels is precies eender. Horizontaal en vertikaal zijn opgaven gec n, die de leerlingen moeten uitrekenen.

horizontaal a 486:9 b 2792 + 5579 e 10x (1000-354) f 100-62 g 7x8 + 1 h 9x59 1 702:9 m 10x (93-85) n 94-49 P 8x912 verticaal a 5x1135 b 32.000:40 c 239 + 251 +245 d 1619 + 255 i 4298-539 J 126:7 k 8x729 0 110-43

De zelfcontrole en de zelfcorrectie komen bij deze oefenvorm wel heel duidelijk uit de verf. U kunt deze oefenvorm voor alle hoofdbewerkingen gebruiken. Ook voor breuken, procenten, verhoudingen, metriek stelsel enz. Het is niet moeilijk om zelf (als leerkracht) zo'n kruisgetalraadsel te maken. U begint namelijk met een (betrekkelijk willekeurig) Ingevuld kruisgetalraadsel. Vervolgens past u de opgaven hierbij aan. Maar laat u ook de leerlingen eens zo'n raadsel in elkaar zetten. Laat ze bijv. in tweetallen werken. U zult opnieuw bemerken dat ze zeer gemotiveerd en zeer intensief oefenen.

De pyramidesommen zijn naast de middenbouw zeer geschikt voor de onderbouw. Als de basisrij ingevuld is met getallen, dan kunt u de getallen in de rij die naar boven ligt vinden door steeds twee nieuwe getallen van de basisrij op te tellen, enz. Laat u de antwoorden hier en daar weg, dan krijgt u een pyramide, waarbij ook afgetrokken moet worden.

Douanesommen

Als inleiding kunt u een gesprek met de klas voeren over grensoverschrijdingen. Laten we als voorbeeld drie grenzen nemen. Het blad (papier) wordt dan verdeeld in zeven 'landen'. In één van die landen zet u een getal. Bij de grensoverschrijdingen geeft u aan welke'tol' (optellen/aftrekken, vermenigvuldigen/delen) er betaald moet worden en hoeveel. Laat de leerlingen zelf ontdekken wat er gebeurt, als ze een grens (snij)punt van twee grenzen overschrijden.

Ook bij deze oefenvorm zijn weer talloze variaties mogelijk. U kunt bijv. het aantal landen uitbreiden door meerdere grenzen te tekenen. Of: u geeft meer getallen in de 'landen', maar u geeft niet aan welke tol er betaald moet worden. Dat moeten de leerlingen zelf uitzoeken.

Nog een praktische tip: het verdient aanbeveling de opdrachten eerst zelf te maken voordat u ze de leerlingen voorlegt. Als u namelijk geen juiste tol heft, komt u voor verrassingen te staan.

Het aardige en uiterst zinvolle van deze oefenvorm is, dat optellen en aftrekken, vermenigvuldigen en delen gekoppeld worden. Immers: een grensoverschrijding met optellen geeft in tegenovergestelde richting aftrekken. En de grens over met vermenigvuldigen, geeft 'terug' delen.

Magische vierkanten

Horizontaal, vertikaal en diagonaalsgewijs moet er een zelfde antwoord uit komen, indien u de getallen optelt.

Deze oefenvorm heeft vooral zin, wanneer u de leerlingen een negental antwoorden geeft, met de opdracht van deze getallen een magische vierkant te construeren. Het Is ook mogelijk een magisch vierkant van 4 bij 4 te laten maken, alleen zult u in dit geval wel een aantal getallen in het vierkant moeten invullen, daar de opdracht anders te moeilijk Is.

Onderstaande magische vierkanten zijn niet direkt bruikbaar voor uw klas, maar indien u even de moeite wilt nemen om ze wat nauwkeuriger te bekij1< en, dan kunt u een plezierig kwartiertje beleven.'')

Een geliefd wiskundig tijdverdrijf is het verzinnen van 'magische vierkanten'. Het hier afgebeelde, gemaakt door de Duitse kunstenaar Albrecht Dürer en voorkomend op zijn beroemde gravure Melencolia, is zo gerangschikt, dat telkens vier getallen horizontaal, verticaal en diagonaal opgeteld 34 opleveren. Het zelfde is het geval met de vier getallen in het hart van het vierkant, en er zijn nog tal van manieren om tot 34 te tel* len. Dürer zag kans het jaartal van zijn gravure te laten vormen door de middelstevakjes op de onderste rij: 1S14.

De achttiende-eeuwse mathematicus Leonhard Euler is de schepper van dit magische vierkant, waarin elke getallenrij van links naar rechts of van boven naar onder 260 oplevert. Het zijn bovendien vier magische vierkanten, waarin men steeds tot 130 optelt. Nog intrigerender is, dat een paard uit het schaakspel met zijn L-vormige sprongen een tocht over alle 64 velden kan maken in de volgorde der getallen.

Variatie aiierhande

In het kader van dit artikel is het niet mogelijk om alle oefenvariaties uitgebreid aan de orde te stellen. We volstaan verder met het noemen van een aantal: puzzels, pijlentaal, doolhof, rekenwieltjes, kalender, bankrekeningnummer, driehoeks- en rechthoeksdiagrammen, geheimschrift, dubbele sommen enz. enz. Soms vraag je je wel eens af waarom men toch in de klassesituatie zo veelvuldig gebruik maakt van rijtjessommen, terwijl er zoveel andere mogelijkheden op de markt zijn.s)

Tenslotte

Het bovenstaande is verre van volledig. De bedoeling van het neerschrijven van deze oefenvormen is geen andere dan u te motiveren (wellicht nog frequenter) aan de slag te gaan met gevarieerde oefenvormen, die voor de leerlingen motiverend zijn. Het gaat hierbij om afwisseling. Die afwisseling dient om het in te oefenen onderwerp onder de

knie te krijgen. Dus: de oefenvormen worden niet (uitsluitend) gebruikt als 'leuke spelletjes', nadat de leerlingen het onderwerp beheersen^). Juist omdat het proces van inoefening van allerlei vaardigheden in de meeste gevallen nogal wat tijd kost, is het nodig dat er variatie in die oefening wordt aangebracht. Soms maken leerkrachten de opmerking, dat je deze oefenvormen niet zelf kunt 'maken', omdat je daar geen tijd voor hebt. I k denk dat dit erg meevalt. Denkt u maar aan de tabellen: tien vertikale randgetallen en tien horizontale randgetallen betekenen voor de leerlingen: 100 opgaven. (Overigens lijkt me dit te veel voor één rekenles). Maar bovendien kunt u voor suggesties terecht bij een aantal publikaties. (Zie hieronder noot 5.)

En tenslotte: de nieuwere rekenmethoden hebben op dit gebied veel te bieden. U moet het gewoon gaan proberen! Zeer waarschijnlijk dat u "al etende honger krijgt"!!

W. v.d. Geer.

NOTEN:

1. D.R.S.jan.'84.

2. Dhr. Rottier noemt in D.R.S. sept. '84 eveneens deze mogelijkheid, naar een Idee van Borghouts-Van Erp.

3. Jaargang 8, nr. 3.

4. Voor lezers die wat wiskunde in hun 'pakket' hebben, behandelt F.M. Vrlesendorp het onderwerp: "Magische vierkanten als voorbeeld voor lineaire ruimten". (Euclldes, jrg.52 nr.2.)

5. We noemen de volgende publikaties:

a. Wiskobaspublikaties, Leerplanpubllkatie II. Drie bij elkaar horende delen met aanwijzingen, praktische tips, werkbladen enz. (I.V.I.O., Lelystad). b. Kien. Een achttal delen met veelal voortreffelijke oefenvariaties (Malmberg, Den Bosch). c. Willem Bartjens. Een tijdschrift dat vier keer per jaar verschijnt met veel goede artikelen, ook over oefenvormen. (S.L.O., Enschede).

6. Op dit punt ben Ik zo vrij om van mening met dhr. Rottier te verschillen. Hij stelt in D.R.S. van sept. '84, dat veel gevarieerde oefenvormen pas op bevredigende wijze gebruikt kunnen worden, als de kinderen de tafels redelijk beheersen (biz. 431). Ik ben van mening dat deze oefenvormen juist gebruikt kunnen (moeten) worden teneinde tot die beheersing te komen!. Hetzelfde geldt m.l. ook voor alle bewerkingen die hier boven in het geding waren. Maar dat zal ondertussen wel duidelijk zijn geworden.

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen