Rekenonderwijs in ontwikkeling

Inleiding

In '85 zal de basisschool van start gaan. De leerkrachten van die basisschool dienen in het S.W.P. (schoolwerkplan) te verwoorden hoe zij het onderwijs denken in te richten. Die inrichting zal per school verschillen. Immers zaken zoals identiteit, leerpsychologieën. didaktiek, visie op het onderwijs enz. bepalen in belangrijke mate de inrichting (of het leefklimaat) van de school. En over deze zaken wordt nu eenmaal niet hetzelfde gedacht.

Rekenen/ wiskunde blijft in het nadenken over dit onderwijsklimaat en bij het opzetten van het S.W.P. niet buiten schot. Zo'n dertig jaar geleden zou het formuleren van dit gedeelte van het S.W.P. niet moeilijk zijn geweest. Rekenen betekende in die tijd: sommen maken. Misschien dat er nog een paar zinnen aan toegevoegd zouden worden, zoals: "Rekenen heeft een vormende waarde en een praktische waarde". Intussen is dit vak (gelukkig) niet zo 'doorzichtig' meer. Over de veranderingen die geleid hebben tot de huidige situatie in het reken/'wiskunde-onderwijs en het opsommen

van een paar van die veranderingen, gaat dit artikel. Hopelijk draagt deze achtergrondinformatie (die voornamelijk didaktisch van aard is) een klein steentje bij tot bezinning op uw eigen onderwijspraktijk m.b.t. rekenen/wiskunde, waarmee uw loopbaan toch voor zo'n twintig procent gevuld wordt. En vervolgens zou dit verhaal misschien wat steun kunnen bieden bij het formuleren van het S.W.P.

Rekenonderwijs in het verleden

Zoals gezegd: zo'n dertig jaar geleden zou het invullen van het deel-S.W.P. rekenen niet in het minst problemen opgeleverd hebben. Het waarom en het hoe van het rekenen (= sommen maken) waren immers volstrekt duidelijk. Je had het nodig Voor later' (wat dat

'later' nu precies inhield, realiseerde men zich nauwelijks). En... je kreeg het onder de knie door veel te oefenen. Ziehier de motivering van het 'waarom' en het ’hoe’.

Het rekenen was voor de leerkracht een uur van betrekkelijke rust: na de uitleg ging de klas aan het werk en de leerkracht kon zich bezig houden met andere zaken zoals bijv. het nakijken van taalschriften. De indruk bestaat dat die rust en die zekerheid omtrent dit vak anno 1984 grotendeels verdwenen is. De vraag: "Hoe komt dat? " ligt voor de hand.

Om hier antwoord op te geven, moeten we even terug naar het verleden. Eeuwenlang is het door Willem Bartjens in de 17e eeuw geschreven rekenboek: "Cijfferinge" toonaangevend geweest voor het rekenonderwijs.1) Om de huidige ontwikkelingen binnen het reken/ wiskunde-onderwijs beter te kunnen begrijpen, is het nodig wat dieper op dit boek in te gaan.

In de eerste plaats constateren we, dat de schrijver van dit boek wat de leerstof betreft bijna uitsluitend rekening hield met het bedrijf van de kooplieden, nl. de handel. Het boek staat vol met opgaven, die op de handel betrekking hebben. Een voorbeeld:

"Een koopman is schuldig te betalen in 4 maanden 800 gulden / begeert die terstond te betalen / mits aftrekkende 3 van 't honderd / dat is te verstaan: dat hij 97 guldens zal tellen voor elke honderd. Vrage / Hoeveel hij in alles tellen zal?

Antwoord:776 gulden.”

In de tweede plaats merken we op, dat we in dit boek tevergeefs zoeken naar schema's, modellen zoals getallenlijn, honderdveld enz. Ook treffen we geen verwijzingen aan naar concreet materiaal. Anders geformuleerd: Bartjens heeft zich niet primair bezig gehouden met de vraag: "Hoe vertel ik het de kinderen? " De eis die de maatschappij stelde via de koophandel (snel en foutloos rekenen) prevaleerde bij Bartjens boven de didaktiek. Overigens hoeft dit laatste ons niet zo te verwonderen: door sterke nadruk te leggen op het eindresultaat, kv/am het inzichtelijke aspect bij het rekenonderwijs in verdrukking. En juist het inzichtelijk benaderen van het onderwijs in rekenen aan kinderen veronderstelt een doordachte didaktiek.

Bartjens' boek raakte in de negentiende eeuw steeds meer in onbruik. Andere rekenboeken kwamen er voor in de plaats. Door het feit dat men enerzijds wél de kontekst van de handel in deze

boeken losliet, maar anderzijds vasthield aan de doelstellingen van het rekenonderwijs in de tijd van Bartjens, werden de rekenboeken in de loop van de twintigste eeuw 'abstracter'. De opgaven, die in de tijd van Bartjens nog ingebed waren in een voor de kinderen herkenbaar stukje realiteit, werden gaandeweg gereduceerd tot kale cijfersommen. Zo kunnen we in de rekenboeken van de jaren vijftig van de twintigste eeuw breuken tegenkomen die iedere realiteitszin verloren hebben. Bijvoorbeeld deze opgave:

Kentering

In de jaren zestig hielden de Amerikanen en de Russen een wedloop wie als eerste een geslaagde maanlanding zou maken. In Amerika werden grote wiskundige projecten ontwikkeld voor lager en voortgezet onderwijs. Wiskunde in dienst van de ruimtevaart. De projecten hadden tot doel om Amerika de wedloop om als eerste voet op de maan te zetten, te doen winnen. Deze wiskundige "hausse" wordt aangeduid met: "New-Math”.

Ook Nederland raakte op een gegeven ogenblik een beetje in de ban van deze beweging. "Wiskunde op de basisschool" werd plotseling een modekreet. Verschillende uitgevers zagen een gat in de markt en brachten haastig vertalingen van buitenlandse rekenmethoden op die markt. Een heel duidelijk voorbeeld hiervan is "Elementair Wiskundig Rekenen", een vertaalde Amerikaanse methode.

Er dreigde verwarring te ontstaan, want deze methoden waren niet afgestemd op de lagere school. In een groot aantal opzichten waren deze methoden niet anders dan uittreksels van wiskundeboeken voor de middelbare school. Een voorbeeld: in de boeken voor de hoogste klassen werd de stelling van Pythagoras behandeld en introduceerde men stompe, scherpe en gestrekte hoeken.

Mede om deze ontwikkeling een halt toe te roepen werd in 1971 het I.O.W.O. (Instituut Ontwikkeling Wiskunde Onderwijs) met als subafdeling Wiskobas opgericht. Dit van overheidswege ingestelde instituut heeft een 10-tal jaren onderzoek verricht en ontwikkelingswerk gedaan t.b.v. het rekenonderwijs. Het had tot taak: wiskundeonderwijs ontwikkelen voor 4-18 jarigen. Het is dit instituut geweest dat de grote stoot gegeven heeft tot veranderingen in het reken/wiskundeonderwijs. Het instituut is in 1981

opgeheven, maar de "geest" van Wiskobas is nog springlevend.

Het I.O.W.O. mocht geen methoden uitgeven. Dat moest overgelaten worden aan de uitgevers. De Wiskobasmethode bestaat dan ook niet, zoals nogal eens verondersteld wordt. Wel heeft Wiskobas zeer veel invloed uitgeoefend op de nieuwe rekenmethoden die op de markt verschenen zijn (en nog steeds verschijnen).

Nu is het zo dat methoden het onderwijs sterk beïnvloeden. Dat geldt in het algemeen, maar wel heel in het bijzonder voor een vak als rekenen/wiskunde. Het verbreken van een continue lijn kan voor een aantal leerstofgebieden zeer nadelige gevolgen hebben. Denkt U maar aan bijvoorbeeld het aanleren van de vier hoofdbewerkingen. De aard van deze leerstofonderdelen is dusdanig, dat een zorgvuldige opbouw een allereerste vereiste is voor positieve resultaten. Om dus zicht te krijgen op het reken/wiskunde onderwijs anno 1984, moeten we derhalve nagaan welke stromingen thans waar te nemen zijn in de gebruikte methoden.

Stromingen in het huidige rekenonderwijs 2)

In het Nederlandse methodenbestand zijn momenteel een viertal stromingen te onderkennen, namelijk:

- de mechanistische stroming; - de realistische stroming; - de structuralistische stroming en de - de empiristische stroming.

De laatste twee stromingen zijn niet erg relevant. Daarom willen we ons beperken tot de eerste twee richtingen. Overigens vinden we in de hierboven genoemde methode "Elementair Wiskundig Rekenen" een voorbeeld van de structuralistische stroming. "Aktief rekenen" is sterk beïnvloed door de empiristische richting.

De mechanistische en de realistische stromingen zullen we hieronder wat verder verkennen. We doen dat aan de hand van een vijftal kenmerken:

a. Inzicht

De realistische stroming zit heel duidelijk op de inzichtelijke toer, terwijl de mechanistische richting daarentegen veel meer de nadruk legt op het inslijpen van basisvaardigheden en regels. Met name komt dit verschil sterk tot uiting bij het aanleren van algoritmen.

nl. bij het aanleren van optellen en aftrekken onder elkaar, het vermenigvuldigen onder elkaar en het staartdelen.

Om dit verschil in genoemde stromingen duidelijk te maken, gaan we na op welke wijze de mechanistische stroming het algoritme van het worteltrekken zou aanleren en hoe de realistische stroming dat zou doen.3)

Worteltrekken is geen algoritme dat in de lagere school wordt aangeleerd, maar dit voorbeeld hebben we genomen, omdat één van de vier hoofdbewerkingen veel minder effect zou sorteren. Overigens: U weet ongetwijfeld dat de wortel uit zestien vier is, omdat vier keer vier zestien is. Zo is de wortel uit vijfentwintig vijf, omdat vijf keer vijf vijfentwintig is. We kunnen dat ook zó zeggen: bij worteltrekken gaat het er om de zijde van een vierkant te vinden als we de oppervlakte van dat vierkant weten. De techniek van dit worteltrekken gaan we eerst beschrijven volgens de mechanistische stroming en daarna volgens de realistische.

We nemen als voorbeeld de wortel uit 36. Hoe komen we (volgens de mechanistische stroming) aan het goede antwoord? Wel, dat gaat

Als U dit een paar keer doet, dan beheerst U de techniek (het algoritme) van het worteltrekken. Maar als het over inzicht gaat...? Waarschijnlijk hebt U nu hetzelfde gevoel als kinderen die via de mechanistische methode voor het eerst 'staartdelen' krijgen uitgelegd. Zo in de zin van: "Ik begrijp er niets van!”

Hoe pakt de realistische stroming nu zoiets aan? Om te beginnen plaatst de realistische stroming het probleem ('wat is de wortel uit 36? ') in een kontekst, (zie voor het begrip kontekst hieronder).

”Een tegelzetter uit vroeger tijden maakte vierkante tafeltjes en bedekte het bovenblad met tegeltjes. Als de burgers bij hem kwamen met tegels om een vierkant tafeltje te laten maken, dan legde hij de tegels op de vloer van de werkplaats en probeerde eerst uit hoe groot het tafeltje zou worden. Hij moest dit wel doen, want hij moest vooraf de grootte van het tafelblad bepalen, waarop de tegels vastgelijmd werden.”

”Langzamerhand echter werd dit uitspreiden op de vloer een te tijdrovende bezigheid. Vandaar dat hij op de lei wat schetsjes maakte, in deze trant:

”Maar toen het aantal tegeltjes dat in een tafeltje verwerkt moest worden steeds groter werd, duurde ook deze werkzijze te lang. Op een dag, toen een klant met 441 tegeltjes aan kwam dragen, kreeg hij een groots idee. Hij schetste en schreef op zijn lei het volgende: ”

”De tegelzetter vertelde zijn vondst aan de schoolmeester: één van de notabelen van het dorp in die tijd. Deze ienterreman presteerde het om het worteltrek-proces' nog verder te verkorten: ”

Tot zover het worteltrekken.

We vatten de kenmerken van het aanleren van een cijfertechniek volgens de realistische opvatting nog even samen:

a. de techniek wordt in een kontekst geplaatst (het verhaal van de tegelzetter);

b. het probleem wordt eerst concreet opgelost (tegels leggen);

c. er is sprake van een systematische aanpak (een groter tafeltje maken vanuit een kleiner tafeltje door 'de rand vol te leggen');

d. het verwoorden van de (denk)handelingen speelt een grote rol (de tegelzetter vertelt zijn vondst aan de schoolmeester);

e. er wordt toegewerkt naar verkortingen.

We willen nog één opmerking maken. Bij deze (realistische) aanpak kan ieder kind op eigen niveau werken. Een kind dat nog aan het begin van het algoritmiseren staat, kan in de concrete fase het probleem oplossen; een kind dat iets verder is, kan schematisch aan de slag gaan en een kind dat nog verder is, doet het op abstract niveau (dus met getallen) al of niet verkort. Deze differentiatie, die tijdens het leerproces plaats vindt, is eveneens een kenmerk van de realistische richting.

b. Konteksten

Als tweede verschil tussen de mechanistische en de realistische stroming noemen we het gebruik van konteksten. Konteksten zijn situaties, waarin leerlingen tot rekenkundige/wiskundige prestaties kunnen komen én waarin ze kunnen oefenen en toepassen. Anders geformuleerd:

- konteksten geven betekenis aan de rekensituaties;

- konteksten vergroten de bruikbaarheid van het geleerde, door verband te leggen met toepassingssituaties.

Bij de mechanistische richting komen we bijna geen konteksten tegen. Het probleem wordt 'kaal' aangeboden. De realistische stroming daarentegen zoekt naar reële konteksten. Een paar voorbeelden:

1. Op de kleuterschool worden de begrippen 'meer', 'minder' en 'evenveel' gehanteerd.

4. Onder het kopje 'inzicht' zagen we dat de mechanisten bij het aanleren van de algoritmen geen en de realisten zeer nadrukkelijk konteksten gebruiken.

5. Nog een redaktieopgave (klas 5/6) als laatste in de rij van deze voorbeelden.

”Vader wil zijn auto inruilen tegen een nieuwe. Hij kan daarbij een keuze maken uit vijf verschillende typen.”

Juist in de vraagstelling treedt het verschil in het gebruik van (reële) konteksten duidelijk naar voren:

mechanistisch: a. Hoeveel kosten de vijf typen samen? b. Wat is de gemiddelde prijs?

Op het eerste gezicht zijn dit reële vragen. Maar... telt ü, als u een auto koopt, de prijzen van de verschillende typen op? En bent ü geïnteresseerd in de gemiddelde prijs van de typen auto's die uw dealer verkoopt?

realistisch: a. Wat zou vader voor zijn oude auto terugkrijgen? (bouwjaar '79). Zou die inruilwaarde voor alle typen gelijk zijn?

b. Zou vader alleen naar de inruilwaarde kijken?

Deze vragen sturen verder in de (reële) richting van: hoe duurder de aan te schaffen auto, hoe hoger de inruilwaarde; de rol van de 'eigen' dealer; de grootte van de auto; het benzineverbruik; het comfort enz.

Samenvattend kunnen we van al deze voorbeelden zeggen, dat het de realistische stroming te doen is om een stukje werkelijkheid te benaderen, terwijl de mechanistische stroming veel meer geïsoleerd te werk gaat.

c. 'Traditionele' leerstofgebieden

Een derde verschil tussen de mechanistische en de realistische stroming krijgen we in het vizier, als we naar leerstofgebieden zoals breuken, procenten en vooral meten kijken.

De mechanistische stroming werkt snel naar de 'techniek' van het rekenen met breuken en procenten toe, terwijl de realistische richting veel meer nadruk legt op het begrip breuk en het begrip procent, hetgeen tot uiting komt in het gebruik van concrete voorwerpen, van modellen (zoals getallenlijn en honderdveld) van schema's enz.

Kijken we naar het leerstofgebied meten (lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht, tijd enz.) dan is het verschil erg duidelijk: bij de mechanistische stroming wordt heel snel toegewerkt naar formules en standaardmaten, terwijl bij de realistische stroming veel waarde toegekend wordt aan een praktische benadering van meten, aan het benaderen van de te meten grootheid, aan willekeurige maten enz.

d. Nieuwe leerstofgebieden

Een vierde verschil constateren we tussen beide richtingen als het gaat over de keuze van de leerstof. De realistische stroming neemt

onderwerpen in beschouwing, die nu, anno 1984, relevant zijn. Om er een paar te noemen:

- meetkunde (ruimtelijke oriëntatie);

- statistiek;

- kombinatoriek

- rekenmachientjes enz.

e. Oefenvormen

Als vijfde en laatste verschil noemen we het gebruik van gevariëerde oefenvormen. De mechanistische richting beperkt zich veelal tot het verstrekken van rijtjes sommen. De realistische stroming streeft naar een gevariëerd aanbod van oefeningen, zoals tabellen, honderdveld, kruisgetalraadsels, puzzel-sommen, enz.

We willen het hierbij laten. Uiteraard zijn meer verschillen te noemen, maar de bovengenoemde behoren wel tot de belangrijkste.

Samenvatting

Het rekenonderwijs is de laatste jaren sterk in beweging. Zo'n dertig jaar geleden gebruikte men leerboeken (methoden) die in feite dezelfde doelstellingen (snel en foutloos rekenen) in hun vaandel voerden als Bartjens in de 17e eeuw. Met dit verschil, dat de opgaven van Bartjens meer realiteitszin vertoonden, doordat ze ingebed waren in een voor de jeugd van toen reële konteksten. Maar de eeuw van Bartjens is niet meer de onze; deze tijd stelt andere eisen aan het rekenonderwijs dan drie eeuwen geleden.

Onder invloed van het I.O.W.O. is het rekenonderwijs vernieuwd, in die zin, dat veel meer aandacht besteed wordt aan inzicht, konteksten, oefenvormen, nieuwe (voor deze tijd belangrijke) leerstofgebieden. De stroming in het Nederlandse rekenonderwijs die deze doelen nastreeft wordt aangeduid met ’realistisch’.

Anderzijds is er een richting, die meer op de oude voet verder gaat en die als belangrijkste kenmerken heeft: snel aansturen op de techniek (vaardigheid) met verwaarlozing van de vraag: 'Waarom moet dat zó? '; aanbieden van geïsoleerde problemen (dus geen konteksten); oefenen van de vaardigheden door middel van het rijtje; traditioneel behandelen van leerstofgebieden zoals meten, breuken en procenten.

In de huidige rekenmethoden vinden we beide stromingen terug. Het is niet zo, dat alle kenmerken van één richting in één methode zijn terug te vinden. Wel constateren we dat de ene methode zeer veel mechanistische kenmerken vertoont, (bijv. "Naar Zelfstandig Rekenen") en de andere meer in realistische richting tendeert (bijv. "Taltaal" en in mindere mate "Operatoir Rekenen”).

Leerkrachten die het deel-S.W.P. rekenen/wiskunde schrijven, zullen aan moeten geven wat hun visie is op dit vak, óók t.a.v. de didaktiek die hier in het geding is. Het bovenstaande wil een handreiking zijn om die mening te helpen vormen.

We besluiten met de zinnen waarmee Bartjens zijn "Cijfferinge" afsloot:

”Te hebben wel gedaan, was al myns Herts-begeer:

Is ’t nu niet zo 't behoord, 't doet my in 't Herte zeer.

Dit artikel is een bew erking van een lezing, gehouden voor de K. L.S. sektie K. B.O. in april ’84.

NOTEN:

1) ”De (vernieuwde) Cijfferinge", door Mr. W. Bartjens (Amsterdam. 1664).

2) Zie voor een volledig overzicht: "Almanak" (Utrecht. 1984).

3) Het voorbeeld is ontleend aan: ”Wiskunde en didaktiek, deel 2”, door F. Goffree (Gr., ’83).

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen