Oefenen in het rekenonderwijs

(Of: "Wenn das Rechnen anfSngt, hort das Verstehen auf.")

Inleiding

Volgens een in de rekenwereld bekend tijdschrift') maakt een aanzienlijk deel van onze vaderlandse jeugd in de middenklassen van de lagere school (3de en 4de klas) in totaal zo'n 10.000 enkelvoudige rekenopgaven. (Met enkelvoudige rekenopgaven bedoelen we opgaven, die niet in een reële samenhang zijn geplaatst. Het zijn opgaven sec.) I^e verdeling is ruwweg als volgt: -3.000 cijfersommen onder elkaar; -5.000 rekensommen naast elkaar; -2.000 sommen over tijd- en geldrekenen en metriek stelsel. Rekent u nu even mee. U hebt een klas van 30 kinderen (3de of 4de klas). Met elkaar

maken uw kinderen per jaar zo'n 150.000 sommen onder elkaar, naast elkaar of m.b.t. het metrieke stelsel en het tijd- en geldrekenen. Men kan u niet verwijten dat uw jaarproduktie gering is. Uw'omzetcijfers'liegen er niet om. Terugblikkend op 1983 kan men evenmin volhouden dat het een verloren jaar is geweest. Er werd wat 'afgeoefend'! Oefening baart kunst! Is dat zo? ?

Cijferen

Het is niet voor niets dat hier de middenbouw (3de en 4de klas) als voorbeeld werd genoemd van klassen waarin veel geoefend wordt in het rekenonderwijs. In deze klassen wordt namelijk zeer veel aandacht besteed aan het cijferen, ook wel het systematisch of technische rekenen genoemd. DÉt het cijferen in deze leerjaren aan de orde komt, is niet alleen wenselijk voor 'later', maar ook zeer noodzakelijk. Immers: er komt een moment in het rekenproces, waarop je niet meer om dit systematische rekenen heen kunt. (Met systematisch rekenen bedoelen we vooral het optellen, aftrekken en vermenigvuldigen onder elkaar en het maken van staartdelingen).

Wanneer we de getallen die we moeten 'bewerken' (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen) groter worden, hebben we behoefte aan een systeem dat die bewerkingen overzichtelijk houdt én dat relatief gemakkelijk te hanteren is. Laat ik dat aan een voorbeeld toelichten.

Een vermenigvuldiging zoals: 289 x 987 = is veel gemakkelijker en overzichtelijker uit te rekenen 'onder elkaar' dan 'achter elkaar'. Ziet u maar:

Achter elkaar: 289 x 987 = 200 x 987 + 80 x 987 - h 9 x 987 = 200 X 900 + 200 x 80 - h 200 X 7 - h 80 x 900 - I- 80 x 80 + 80 X 7 - h 9x900-H9x80-F9x7 = 180.000 + 16.000 - I- 14.00 + 72.000 - f- 6400 + 560 - I- 8100 + 720 + 63 = 285243

Onder elkaar: 289 987+ 2023 23120 260100 285243

Het verschil qua overzichtelijkheid en 'relatief gemak' springt onmiddellijk in het oog. Plaatsen we het cijferen naast het rekenen van de 1ste en 2de klas, dan valt op, dat dit cijferen veel abstrakter aan de kinderen aangeboden wordt, dan de 'sommen' in klas 1 en 2.

In de lagere klassen wordt veel concreet materiaal gebruikt; wordt het rekenen door allerlei tekeningen, schetsen en modellen (getallenlijn, honderdveld) enz. ondersteund. Al deze hulpmiddelen worden gebruikt om het rekenen zo inzichtelijk mogelijk te brengen: 'handelend rekenen', 'laten zien wat je doet' zijn uitdrukkingen die veelvuldig worden gebezigd.

Bovendien worden er in de eerste klas (en in de tweede, hoewel minder) doorgaans niet onverdienstelijke pogingen gedaan om de sommen in een z.g. kontekst te zetten: d.w.z. in een zodanige situatie te plaatsen, dat de problemen realiteitswaarde krijgen, en

aangrijpingspunten voor rekenl< undig/wiskundig bezig zijn bieden voorde l< inderen. Welnu, deze inzichtelijke aanpak én het plaatsen van de opgaven in een reële kontekst w/ordt bij het 'cijferproces' vaak achterwege gelaten. Laten we dit eens wat nauwkeuriger gaan bekijken aan de hand van de thans vigerende rekenmethoden.

Cijferen en rekenmethoden

Het is langzamerhand wel bekend, dat het rekenonderwijs de laatste jaren (onder invloed van Wiskobas) sterk in beweging is. Er zijn, zover ik weet, niet veel scholen meer, die niet op z'n minst van de 'beweging' Wiskobas gehoord hebben. De huidige stand van zaken is, dat er momenteel duidelijk twee stromingen in het rekenonderwijs te onderkennen zijn^).

Er is een categorie rekenboeken, die in het derde en vierde leerjaar vrijwel alle (reken)tijd besteedt aan het oefenen van de basisvaardigheden en het cijferend optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Dit cijferen staat op zichzelf. D.w.z.: iedere reële kontekst ontbreekt: er is geen verband gelegd met de realiteit. Het zijn 'kale' cijfersommen.

Daarnaast kenmerkt dit type cijferen zich door het feit, dat de cijferprocedures onvoldoende door inzicht onderbouwd worden. Het gaat veel meer om een snel eindresultaat dan om een inzichtelijke leerweg.

Anderzijds zijn er rekenboeken, die meer op 'kontekst problemen mikken'. Dus die niet 'puur cijferen', maar die de bewerkingen in een 'stukje realiteit' plaatsen, althans pogingen daartoe doen. Verder stuurt men in deze methoden veel meer op inzicht aan. Snelle resultaten (die achteraf vaak schijnresultaten blijken te zijn), behoeft men bij deze methoden niet te verwachten.

Zie hier (wat het cijferen betreft) 'oud en nieuw' tegenover elkaar. Uiteraard zijn er variaties tussen deze twee zojuist beschreven uitersten, maar feit blijft dat dit toch wel de hoofdstromingen zijn die duidelijk te herkennen zijn.

Oefenen

Ik hoop dat inmiddels duidelijk is geworden, dat er (globaal) twee aanpakken opgeld doen als het over cijferen gaat:

- een aanpak waarbij na een korte 'Inzichtelijke' periode snel tot veelvuldig oefenen wordt overgegaan; het "zó moet je het doen" staat centraal.

- een aanpak waarbij de inzichtelijke aanleerperiode veel langer duurt en waarbij het aantal oefenopgaven veel geringer is; het "waarom doe je het zó? " krijgt veel accent. Bij het doorbladeren van de leerboekjes springt dit verschil reeds dadelijk in het oog: grijze bladzijden boordevol met sommen tegenover een veel geringer aantal, maar wel met veel tekeningen, modellen, schema's enz.

Het verschil tussen de twee aanpakken beperkt zich niet alleen tot het cijferen. Ook bij andere onderwerpen in het rekenonderwijs zien we hetzelfde verschil.

Neem nu bijv. het aanleren van de breuken In klas 4. Veelal wordt aan het begrip breuk nauwelijks aandacht besteed, terwijl het toch een geheel nieuw soort getal is. Er wordt niet of nauwelijks met concreet materiaal, met schema's of modellen gewerkt; op de plaats die de breuken in het dagelijks leven innemen wordt niet Ingegaan. Wèl: zó moet je breuken optellen, zó aftrekken, zó vermenigvuldigen en zó delen. En nu aan het oefenen! Sommen maken. (Tussen haakjes: kunt u in een 'plaatje' duidelijk maken wat er nu eigenlijk gebeurt wanneer we een 'breuk met een breuk' vermenigvuldigen? !) Een soortgelijk verhaal is er te houden als het over te tafels gaat. Het herhaalde optellen wordt even als inzichtelijke aanloop genomen. Al spoedig gaat men daarna over tot het opzeggen/opdreunen. Oefenen!!

Bij de introduktie van het metrieke stelsel is het al niet anders. In de eerste les over oppervlakte verschijnt reeds de formule:

Oppervlakte ~ lengte x breedte op bord. (Een cirkelschijf heeft dus geen oppervlakte, want die heeft geen lengte en geen breedte....)

"Wenn das Rechnen anfangt, hort das Verstehen auf".

Het zou in dit bestek te ver voeren om aan te geven hoe de andere (inzichtelijke) aanpak is wat deze onderwerpen betreft. De geïnteresseerde lezer hoeft slechts een methode met het predikaat 'wiskundig' te bekijken, om hier een beeld van te krijgen.

a Hoeve! hele cm^iggen er binnen deze figuur? b Hoeveel cm^ zijn er nodig om deze figuur helemaal te bedekken? c Maak nu rekenzinnen: - de oppervlakte van deze figuur is groter dan . .cm^ - de oppervlakte van deze figuur is kleiner dan . .cm^ - ik schat dat de oppervlakte van deze figuur . .cm^ is, omdat .. d Maak som 4 a, b en c nog eens maar nu met mm^ Welke conclusie trek je?

Je ZOU verwachten, dat leerlingen die "geschoeid zijn op de leest van veel oefenen" het rekenen goed onder de knie krijgen! Oefening baart immers kunst...? Maar hoe komt het dan dat zoveel leerkrachten (en niet alleen in het léger onderwijs!) zo vaak verzuchten:

"Nu heb ik die tafel al zó vaak geoefend en nóg kennen ze hem niet!" "Die staartdelingen krijg ik er maar niet in. Ik heb vandaag weer anderhalf uur geoefend en het resultaat was weer om te huilen." "Dat metriek stelsel snappen ze maar niet. Ik moet toch nóg meer oefenstof geven." "Die breuken houden me uit m'n slaap."

Samenvatting en conclusie

Oefenen is in het rekenonderwijs noodzakelijk om diverse rekentechnieken onder de knie te krijgen. Daar zullen geen meningsverschillen over bestaan.3) De vraag is echter: wénneer begin je met dat oefenen? Na een uitgebreide, op inzicht gebaseerde aanleerperiode? Óf: stuur je reeds in de eerste benadering van een nieuw onderwerp op het eindprodukt, dat voor de leerlingen veelal het karaktervan een truc krijgt, aan?

De praktijk leert, dat de laatste methode toch ooknietdatresultaatafwerpt, datmenop grond van de hoeveelheid oefenstof die doorgeworsteld is, zou mogen verwachten. Ik denk dat hier twee oorzaken voor aan te wijzen zijn:

- in de eerste plaats: het geheugen van een kind dat oefenopgaven moet maken die niet begrepen zijn, wordt zwaar belast, ledere keer wanneer een nieuw onderwerp aan de orde komt, zal de hoeveelheid onbegrepen regels groter worden. Omdat voor het kind er geen verband bestaat tussen deze regels, zal het langzamerhand geen idee meer

hebben van hetgeen het nu eigenlijk aan het doen is. Je kunt dan, als leerkracht, fouten verwachten waarvan je je afvraagt: "Hoe komt hij toch aan zo'n antwoord? " "Wenn das Rechnen anfangt, hort das Verstehen auf'.

Er wordt bovendien nog een extra beroep op het geheugen gedaan vanwege het feit dat de opgaven "kaal" zijn; d.w.z. dat ieder verband met de realiteit afwezig is. Anders gezegd: de kontekst ontbreekt.

- in de tweede plaats neemt de motivatie snel af. Een leerling die het niet snapt en daarna (omdat hij het niet snapt...) een grote hoeveelheid sommen moet gaan maken, ziet het rekenen met steeds minder animo tegemoet. Deze manier van oefenen heeft blijkbaar géén kunst tot gevolg!!

Gevarieerd oefenen biedt in dit geval (van afnemende motivatie) nogal eens uitkomst. Maar daarover wellicht een volgende keer meer.

W. v.d. Geer.

Noten 1) W\\\err\ Bartjens: tijdschrift voor reken/wiskunde-ondervi^ijs in de basisschool, jaargang 1, no. 2. 2) Zie voor een meer gedetailleerd overzicht van de huidige stromingen in het reken/wiskundeonderwijs: "ALMANAK, reken/wiskundemethoden 1984, een uitgave van OW & OC. 3) Soms bestaat de mening, dat de huidige methodenschrijvers het oefenen In het rekenonderwijs overbodig zouden achten, nadat er een periode van 'uitgebreid Inzichtelijk bezig-zijn' aan vooraf gegaan Is. Dat dit een misvatting Is, ontdekt een ieder die bijv. het MAP-programma (= Memoriseer en Automatiseer Programma) van Taltaal bekijkt.

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen